\subsection{基本作图}\label{subsec:czjh1-3-11}

先介绍几种最简单最常用的尺规作图，通常称为\zhongdian{基本作图}。
其他较复杂的作图，都是由基本作图组成的。

\begingroup
\ctexset {
  subsubsection = {
    number=\Roman{subsubsection},
    aftername={. },
  },
}

\begin{enhancedline}
\subsubsection{作一个角等于已知角。}

已知：$\angle AOB$ （图 \ref{fig:czjh1-3-41}）。

求作：$\angle A'O'B'$，使 $\angle A'O'B' = \angle AOB$。

\zuofa 1. 作射线 $O'A'$。

2. 以点 $O$ 为圆心，以任意长为半径作弧，交 $OA$ 于 $C$， 交 $OB$ 于 $D$。

3. 以点 $O'$ 为圆心，以 $OC$ 长为半径作弧，交 $O'A'$ 于 $C'$。

4. 以点 $C'$ 为圆心，以 $CD$ 长为半径作弧，交前弧于 $D'$。

\begin{wrapfigure}[6]{r}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-41}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-41}
\end{wrapfigure}

5. 经过点 $D'$ 作射线 $O'B'$。

$\angle A'O'B'$ 就是所求的角。

\zhengming 连结 $CD$、$C'D'$。 由作法可知

\qquad $\triangle C'O'D' \quandeng \triangle COD$ （$SSS$），

$\therefore$ \quad $\angle C'O'D' = \angle COD$（全等三角形对应角相等），

即 \quad $\angle A'O'B' = \angle AOB$。


\subsubsection{平分已知角。}

已知：$\angle AOB$ （图 \ref{fig:czjh1-3-42}）。

求作：射线 $OC$， 使 $\angle AOC = \angle BOC$。

\zuofa 1. 在 $OA$ 和 $OB$ 上，分别截取 $OD$、$OE$，使 $OD = OE$。

2. 分别以 $D$、$E$ 为圆心， 大于 $\exdfrac{1}{2} DE$ 的长为半径作弧， 在 $\angle AOB$ 内， 两弧交于点 $C$。

\begin{wrapfigure}[6]{r}{6cm}
  \centering
  \input{../pic/czjh1-ch3-42}
  \caption{}\label{fig:czjh1-3-42}
\end{wrapfigure}

3. 作射线 $OC$。

$OC$ 就是所求的射线。

\zhengming 连结 $CD$、$CE$，由作法可知

\qquad $\triangle ODC \quandeng \triangle OEC$（$SSS$），

$\therefore$ \quad $\angle COD = \angle COE$ （全等三角形对应角相等）,

即 \quad $\angle AOC = \angle BOC$。


\subsubsection{经过一点作已知直线的垂线。}

(1) 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。

已知：直线 $AB$ 和 $AB$ 上一点 $C$ （ 图 \ref{fig:czjh1-3-43}） 。

求作： $AB$ 的垂线， 使它经过点 $C$。

\zuofa 作平角 $ACB$ 的平分线 $CF$。

直线 $CF$ 就是所求的垂线。

证明：由作法可知，

\qquad $\angle ACF = \angle BCF = \exdfrac{1}{2} \angle ACB$。

$\because$ \quad $\angle ACB = 180^\circ$（平角的定义）,

$\therefore$ \quad $\angle ACF = 90^\circ$ （等量代换）,

即 \quad $CF$ 是 $AB$ 的垂线。

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \begin{minipage}[b]{7cm}
      \centering
      \input{../pic/czjh1-ch3-43}
      \caption{}\label{fig:czjh1-3-43}
  \end{minipage}
  \qquad
  \begin{minipage}[b]{7cm}
      \centering
      \input{../pic/czjh1-ch3-44}
      \caption{}\label{fig:czjh1-3-44}
  \end{minipage}
\end{figure}

(2) 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。

已知： 直线 $AB$ 和 $AB$ 外一点 $C$ （图 \ref{fig:czjh1-3-44}）。

求作： $AB$ 的垂线， 使它经过点 $C$。

\zuofa 1. 任意取一点 $K$， 使 $K$ 和 $C$ 在 $AB$ 的两旁。

2. 以 $C$ 为圆心， $CK$ 长为半径作弧，交 $AB$ 于点 $D$ 和 $E$。

3. 分别以 $D$ 和 $E$ 为圆心，大于 $\exdfrac{1}{2} DE$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $F$。

4. 作直线 $CF$。

直线 $CF$ 就是所求的垂线。

证明略。


\subsubsection{作线段的垂直平分线。}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
  \centering
  \input{../pic/czjh1-ch3-45}
  \caption{}\label{fig:czjh1-3-45}
\end{wrapfigure}


已知： 线段 $AB$ （图 \ref{fig:czjh1-3-45}）。

求作：线段 $AB$ 的垂直平分线。

\zuofa 1. 分别以点 $A$ 和 $B$ 为圆心，大于 $\exdfrac{1}{2} AB$ 的长为半径作弧，两弧和交于点 $C$ 和 $D$。

2. 作直线 $CD$。

直线 $CD$ 就是线段 $AB$ 的垂直平分线。

证明略。

因为直线 $CD$ 与线段 $AB$ 的交点，就是 $AB$ 的中点，所以我们也用这种方法平分已知线段或作线段的中点。


\subsubsection{经过已知直线外的一点作这条直线的平行线。}

\begin{wrapfigure}[6]{r}{6cm}
  \centering
  \input{../pic/czjh1-ch3-46}
  \caption{}\label{fig:czjh1-3-46}
\end{wrapfigure}


已知： 直线 $AB$ 和 $AB$ 外一点 $M$ （图 \ref{fig:czjh1-3-46}）。

求作： 直线 $CD \pingxing AB$， 且 $CD$ 经过点 $M$。

\zuofa 1. 过点 $M$ 作直线 $MN$， 交直线 $AB$ 于 $N$。

2. 过点 $M$ 作直线 $CD$， 使同位角 $\angle PMD = \angle MNB$。

直线 $CD$ 就是所求的平行线。

\zhengming 由作法可知 $\angle PMD = \angle MNB$，

$\therefore$ \quad $CD \pingxing AB$ （同位角相等，两直线平行）。

\end{enhancedline}
\endgroup

\begin{lianxi}

用直尺和圆规作图，并口述作法：

\xiaoti{作一个角等于 $45^\circ$。}

\xiaoti{把已知线段 4 等分。}

\end{lianxi}



利用基本作图，可以进行其他作图。

\liti[0] 已知底边 $a$，底边上的高 $h$，求作等腰三角形。

已知：线段 $a$、$h$（图 \ref{fig:czjh1-3-47}）。

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \input{../pic/czjh1-ch3-47}
  \caption{}\label{fig:czjh1-3-47}
\end{figure}

求作： $\triangle ABC$, 使 $AB = AC$， 且 $BC = a$， 高 $AD = h$。

\zuofa 1. 作线段 $BC = a$。

2. 作线段 $BC$ 的垂直平分线 $MN$，$MN$ 与 $BC$ 交于点 $D$。

3. 在 $MN$ 上截取 $DA$，使 $DA = h$。

4. 连结 $AB$、$AC$。

$\triangle ABC$ 为所求的等腰三角形。

\zhengming 由作图可知， $\triangle ABD \quandeng \triangle ACD$ （$SAS$）。

$\therefore$  \quad $AB = AC$ （全等三角形对应边相等）。

又 $\because$ \quad $BC = a$， $AD \perp BC$， $AD = h$ （作图）,

所以 $\triangle ABC$ 是所求的等腰三角形。

一般的几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法、证明。
比较复杂的题，在作图之前可先作分析。
目前，我们只要求写出已知、求作、作法三个步骤。

\begin{lianxi}

作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段 $a$、$b$。

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \input{../pic/czjh1-ch3-subsec11-lx-01}
\end{figure}

\end{lianxi}

